麻烦老师解答一下： 考虑一个两参与者的A-D经济,在1期有两种状态a和b，出现的概率分别为1/3和2/3;第一个参与者拥有经济中0期的全部禀赋100单位，第二个参与者拥有1期的全部禀赋，a状态下120单位，b状态下90单位;两参与者有相同的对数期望效用函数，时间折扣系数均为0.9，(1)分析该经济的均衡;(2)在该经济中为无风险证券定价;(3)若将参与者2的效用函数变为u(w)=-0.5w^（-2）,两个参与者中，谁的最优消费波动更大?为什么?

(1)对于第一个参与者，无论a还是b，他的最优策略都是把所有的初始禀赋都消费掉，因为无论他保留多少，第二个参与者都会在下一期全部消费掉，而他本身的时间偏好是0.9，所以他会偏好立即消费。 对于第二个参与者，他在a状态下的最优策略是消费掉所有的120单位，因为他的时间偏好是0.9，他更偏好延迟消费。在b状态下，他的最优策略是保留所有的90单位，因为他的时间偏好是0.9，他更偏好延迟消费。 (2)无风险证券定价的公式为： P t ​ = 1−γ 1 ​ ∫ t ∞ ​ E[U(C s ​ )∣s=t]ds 其中，P t ​ 是在t时刻的无风险证券价格，γ是时间折现率。 根据题目条件，可以计算出在a状态下的无风险证券价格为： P 1 ​ = 1−0.9 1 ​ ∫ 1 ∞ ​ (1/3)∗100∗0.9 s−1 ds=30 在b状态下的无风险证券价格为： P 1 ​ = 1−0.9 1 ​ ∫ 1 ∞ ​ (2/3)∗90∗0.9 s−1 ds=60 (3)对于第一个参与者，无论u(w)函数如何变化，他的最优策略都不会改变，因为他的时间偏好是0.9，他总是更偏好立即消费。 对于第二个参与者，新的效用函数为u(w)=-0.5w^(-2)，其导数为u'(w)=w^(-3)，在a状态下的最优消费路径为： C t ​ =argmax[u(C t ​ )−P t ​ ]=argmax[−0.5∗(C t ​ ) ( −2)−30]=60 在b状态下的最优消费路径为： C t ​ =argmax[u(C t ​ )−P t ​ ]=argmax[−0.5∗(C t ​ ) ( −2)−60]=120 所以，第二个参与者在a状态下的最优消费波动更大。这是因为新的效用函数u(w)=-0.5w^(-2)是一个凹函数，导数u'(w)=w^(-3)是一个凸函数，因此在a状态下的最优消费路径C_t随着时间的推移会逐渐下降，而在b状态下的最优消费路径C_t随着时间的推移会逐渐上升

这是一个经济学问题，涉及到两个参与者的A-D经济模型。 第一个参与者拥有经济中0期的全部禀赋100单位，第二个参与者拥有1期的全部禀赋，a状态下120单位，b状态下90单位。 两个参与者有相同的对数期望效用函数，时间折扣系数均为0.9。 我们需要分析该经济的均衡，计算出均衡状态下a状态和b状态下的价格，为无风险证券定价，以及比较两个参与者的最优消费波动。 假设第一个参与者在0期的消费为 c10，第二个参与者在1期的消费为 c21。 假设a状态下的价格为 pa，b状态下的价格为 pb。 假设无风险证券的价格为 pr。 根据经济学原理和对数期望效用函数的特点，我们可以建立以下方程： 1.第一个参与者的效用最大化问题：max E[u(c10) %2B β * E[u(w1)]]，其中 w1 为第一个参与者在1期的财富。 2.第二个参与者的效用最大化问题：max E[u(c21)]，其中 c21 为第二个参与者在1期的消费。 3.市场出清条件：第一个参与者在0期的禀赋等于两个参与者在0期的总消费。 4.无风险证券的定价问题：pr = β * E[(pa %2B pb) / 2] 用数学方程，我们可以表示为： 1.c10 %2B w1 = 100 2.c21 = w2 3.pa * (1/3) %2B pb * (2/3) = pr 4.pr = 0.9 * ((pa %2B pb) / 2) 现在我们要来解这个方程组，找出各个未知数的值。 计算结果为：a状态下的价格 pa = 45, b状态下的价格 pb = 45, 无风险证券的价格 pr = 40.5 所以，均衡状态下a状态和b状态下的价格分别为 45 和 45，无风险证券的价格为 40.5。 现在我们要来比较两个参与者的最优消费波动。 由于第二个参与者的效用函数变为 u(w) = -0.5w^(-2)，其最优消费波动会更大。这是因为该效用函数对财富的变化更加敏感，因此最优消费波动会更大。

您好 首先，我们来求解参与者的效用最大化问题。设c为当前的消费水平，那么对于第一个参与者来说，他的期望效用可以表示为： E[u(c)] = (1/3) * u(c_1^a) %2B (2/3) * u(c_1^b) 其中，u(c)是参与者的效用函数，u(c_1^a)和u(c_1^b)分别是状态a和b下的效用。 由于参与者有相同的对数期望效用函数，所以他们的效用函数可以表示为： u(c) = ln(c) 现在我们来求解第二个参与者的效用最大化问题。由于他的效用函数为u(w)=-0.5w^(-2)，所以在状态a和b下的效用分别为： u(c_2^a) = -0.5(c_2^a)^(-2) u(c_2^b) = -0.5(c_2^b)^(-2) 我们需要找到使得E[u(c_2)]最大化的c_2^a和c_2^b。通过比较两个参与者的效用函数，我们可以发现第二个参与者的效用函数比第一个参与者的效用函数更敏感于消费水平的变化。 因此，当状态从a变为b时，第二个参与者的最优消费波动更大。这是因为他的效用函数对消费水平的变化更加敏感，导致他在不同的状态下选择的消费水平差异更大。

为了计算无风险证券的定价，我们需要先计算每个状态下的均衡价格，然后使用这些价格来计算无风险证券的期望收益，最后用期望收益除以时间折扣系数。 在状态a下，第一个参与者的期望效用为： 1/3×100×log(100)%2B1/3×0=3.0308 在状态a下，第二个参与者的期望效用为： 1/3×120×log(120)%2B1/3×90×log(90)=2.9122 由于两个参与者的期望效用相等，我们可以得到在状态a下的均衡价格为： p a ​ =100×exp((3.0308−2.9122)/(1−0.9))=100×exp(1.1866)=25.79 在状态b下，第一个参与者的期望效用为： 2/3×100×log(100)%2B1/3×0=3.0308 在状态b下，第二个参与者的期望效用为： 2/3×90×log(90)%2B1/3×120×log(120)=3.2454 由于两个参与者的期望效用相等，我们可以得到在状态b下的均衡价格为： p b ​ =90×exp((3.2454−3.0308)/(1−0.9))=90×exp(2.1464)=67.55 无风险证券的期望收益为： exp(−rT)×(p a ​ %2Bp b ​ )/2 其中，r为时间折扣系数，T为时间间隔。根据题目，r=0.9，T=1。 因此，无风险证券的定价为： exp(−0.9×1)×(25.79%2B67.55)/2=exp(−0.9)×93.34/2=47.67