4.思考下列问题：（1）期限为8年、市场利率为10%、纯贴现国库券的久期为多少？（2）期限为8年、市场利率为10%、票面利率为7%、每年年末付息、到期还本的国债的久期多少？（3）期限为8年、市场利率10%、票面利率7%、每半年付息、到期还本的国债的久期多少？（4）根据以上结果可以得出什么结论？

1. 首先计算纯贴现国库券的久期： - 对于纯贴现债券，久期等于债券的期限。所以期限为8年的纯贴现国库券的久期D = 8年。 2. 然后计算每年年末付息、到期还本国债的久期： - 设债券面值为M，每年利息C = M\times7\%，市场利率y = 10\%，期限n = 8年。 - 债券价格P=\sum_{t = 1}^{n}\frac{C}{(1 + y)^{t}}+\frac{M}{(1 + y)^{n}} - C = 0.07M，代入可得P = 0.07M\times\frac{1-(1 + 0.1)^{-8}}{0.1}+\frac{M}{(1 + 0.1)^{8}} - 计算得P=0.07M\times5.334926+M\times0.466507 - P = 0.373445M+0.466507M = 0.839952M - 久期D=\frac{\sum_{t = 1}^{n}t\times\frac{C}{(1 + y)^{t}}+n\times\frac{M}{(1 + y)^{n}}}{P} - \sum_{t = 1}^{n}t\times\frac{C}{(1 + y)^{t}}=0.07M\times(1\times\frac{1}{(1 + 0.1)}+2\times\frac{1}{(1 + 0.1)^{2}}+\cdots+8\times\frac{1}{(1 + 0.1)^{8}}) - 利用年金的时间加权现值公式计算得\sum_{t = 1}^{n}t\times\frac{C}{(1 + y)^{t}}=0.07M\times29.3652 - n\times\frac{M}{(1 + y)^{n}}=8\times\frac{M}{(1 + 0.1)^{8}} = 8\times0.466507M=3.732056M - D=\frac{0.07M\times29.3652 + 3.732056M}{0.839952M} - 计算得D\approx5.97年。 3. 接着计算每半年付息、到期还本国债的久期： - 半年利率y = 10\%/2 = 5\%，期数n = 8\times2=16，半年利息C = M\times7\%/2 = 0.035M。 - 债券价格P=\sum_{t = 1}^{n}\frac{C}{(1 + y)^{t}}+\frac{M}{(1 + y)^{n}} - P = 0.035M\times\frac{1-(1 + 0.05)^{-16}}{0.05}+\frac{M}{(1 + 0.05)^{16}} - 计算得P=0.035M\times10.83777+M\times0.458112 - P = 0.379322M+0.458112M = 0.837434M - 久期D=\frac{\sum_{t = 1}^{n}t\times\frac{C}{(1 + y)^{t}}+n\times\frac{M}{(1 + y)^{n}}}{2P}（因为t是半年为单位，所以最后要除以2换算成年） - \sum_{t = 1}^{n}t\times\frac{C}{(1 + y)^{t}}=0.035M\times(1\times\frac{1}{(1 + 0.05)}+2\times\frac{1}{(1 + 0.05)^{2}}+\cdots+16\times\frac{1}{(1 + 0.05)^{16}}) - 利用年金的时间加权现值公式计算得\sum_{t = 1}^{n}t\times\frac{C}{(1 + y)^{t}}=0.035M\times76.777 - n\times\frac{M}{(1 + y)^{n}}=16\times\frac{M}{(1 + 0.05)^{6}} = 16\times0.458112M = 7.33 - D=\frac{0.035M\times76.777+7.33M}{2\times0.837434M} - 计算得D\approx5.89年。 4. 最后得出结论： - 纯贴现债券的久期等于债券期限。附息债券的久期小于债券期限，并且在其他条件相同的情况下，付息频率越高，久期越短。这是因为更频繁的付息使得债券的现金流回收相对更提前，从而降低了债券价格对利率变动的敏感性（久期是衡量债券价格对利率变动敏感性的指标）。